Koordinat Kutub dan Koordinat Kartesius pada Trigonometri

 

Dalam pelajaran matematika, ada materi mengenai koordinat yang banyak manfaatnya untuk kehidupan sehari-hari. Nah, dalam teorinya terdapat koordinat cartesius dan koordinat kutub yang bisa saling dikonversikan. Berikut ini penjelasan mengenai koordinat cartesius dan koordinat kutub serta cara konversi

Pengertian dan Manfaat Koordinat Cartesius

Koordinat cartesius merupakan suatu titik yang digambar pada sumbu X dan sumbu Y yang biasanya ditulis dengan P(x,y). Istilah cartesius sendiri ditemukan oleh ahli matematika dari Perancis yang bernama Rene Descartes. Hasil penemuannya inilah gabungan antara aljabar dan geometri yang kemudian berkembang menjadi ilmu geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Sistem koordinat cartesius juga bisa digunakan pada dimensi lebih tinggi, misalnya 3 dimensi yang menggunakan sumbu x, y, dan z. Jika pada 2 dimensi digunakan sumbu x dan y, maka sumbu z terletak saling tegak lurus dengan sumbu x dan y.

Manfaat dari koordinat cartesius sendiri banyak digunakan untuk kehidupan sehari-hari. Biasanya koordinat cartesius digunakan pada gambar denah atau peta, sehingga dapat memudahkan dalam mencari sebuah daerah. Selain itu koordinat cartesius juga digunakan dalam bidang penerbangan agar pesawat tidak saling bertabrakan dengan pesawat yang lain.

Pengertian dan Manfaat Koordinat Kutub

Koordinat kutub atau koordinat polar merupakan sistem koordinat 2 dimensi, dimana titik bidang ditentukan dari jarak titik yang sudah ditetapkan dan besar sudut ditentukan dari arah yang sudah ditetapkan.

Dari abad ke-8 M, penggunaan koordinat kutub ini dikembangkan untuk menghitung arah dan jarak kiblat dari seluruh penjuru bumi.

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Koordinat cartesius dan koordinat kutub serta cara konversi bisa dilakukan dengan menggunakan rumus. Sebelum Anda mengetahui rumus konversi koordinat cartesius ke dalam koordinat kutub ataupun sebaliknya, ada baiknya Anda mengetahui hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub dengan melihat gambar berikut.

Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa koordinat cartesius ditujukan titik P (x,y) dan koordinat kutub P(r,ϑ) dan bisa ditentukan dengan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(x,y), maka koordinat kutub bisa ditentukan dengan rumus:

Sedangkan untuk mengkonversi koordinat kutub ke dalam koordinat cartesius digunakan rumus:

Jadi, jika diketahui koordinat cartesius P(r,ϑ), maka koordinat kutubnya dapat dinyatakan dengan rumus:

Contoh Soal Konversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

1. Jika diketahui titik-titik koordinat sebagai berikut:

• P (4,4)

• P (6,1200)

Ubahlah menjadi koordinat cartesius atau koordinat kutub!

Jawab:

Diketahui koordinat cartesius P (4,4), maka digunakan rumus dan perhitungannya sebagai berikut :

Jadi, koordinat kutub dari P (4,4) adalah

2. Diketahui koordinat kutub P (6,1200), maka perhitungannya adalah

Jadi, koordinat cartesius dari P (6,1200) adalah

3. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius. Koordinat kartesius dari titik (10, 315°) adalah…

A. (-5, -5√2)

B. (-5, 5√2)

C. (5√2, 5√2)

D. (5√2, -5√2)

E. (5, -5√2)

Jawab : D

» Sudut 315° (kuadran IV) —–> (x, -y)

» Dari pilihan jawaban di atas maka kemungkinan jawabannya D atau E

» (r, α) ——> (10, 315°)

x = 10 . cos 315°

x = 10 . ½√2

x = 5√2

y = 10 . sin 315°

y = 10 . -½√2

y = -5√2

Jadi koordinat kartesiusnya adalah (5√2, -5√2)

4. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Kartesius ke Koordinat Polar. Koordinat kutup dari titik (-6, 6√3) adalah…

A. (12, 30°)

B. (12, 60°)

C. (12, 90°)

D. (12, 120°)

E. (12, 210°)

Jawab : D

Cara biasa

r² = (-6)² + (6√3)²

r² = 36 + 108

r² = 144

r = 12

a = arc tan (6√3) / -6

a = arc tan -√3

a = 120°

Jadi koordinat kutubnya adalah (12, 120°)

Cara praktis

» (-6, 6√3) ——-> (-x, y) —–> maka berada di kuadran II

» Dari pilihan jawaban di atas yang berada di kuadran II yaitu hanya pilihan D

» Sedangkan r tidak usah dicari karena dari pilihan jawaban semuanya sama.

5. Untuk koordinat kartesius ke koordinat kutub koordinat kutub titik (-4,4) adalah…

penyelesaian :

(x,y)⇒ (r, α)

x = -4, y=4

(karena x negatif dan y positif, maka α sudut di kuadran II)

r =

⇒

⇒

⇒

tan α = x/y

⇒4/ – 4

⇒ – 1

karena α sudut di kuadran II, maka : α = (180-45)°= 135°

maka koordinat kutubnya ialah ( 4√2, 135°)

6. Untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius.

Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah…

a. (3,3)

b. (3√3, 9)

c. (3, √3)

d. (9, 3√3)

e. (3, 3√3)

Penyelesaian :

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius

(r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ; α = 60°

(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α

⇒ 6√3 x cos 60°

⇒ 6√3 x 1/2

⇒ 3√3

y = r sin α

⇒ 6√3 x sin 60°

⇒ 6√3 x 1/2 √3

⇒ 3 x 3

⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9) (d)

Daftar Pusaka :

1. https://mahirmatematika.com/koordinat-cartesius-dan-koordinat-kutub-serta-cara-konversi-dengan-mudah/amp/

2. https://www.pinterpandai.com/koordinat-polar-koordinat-kutub-soal-jawaban/

Nah, itulah penjelasan mengenai koordinat cartesius dan koordinat kutub serta cara konversi. Semoga informasi di atas bermanfaat bagi Anda. Selamat belajar.